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Como regra, o GPS indica nossa localização com uma precisão de apenas alguns metros. Mas todos nós já passamos por situações em que o erro possível aumenta para algumas centenas de metros ou a localização indicada está simplesmente errada. Uma razão para isso pode ser o pequeno número de satélites com contato de linha de visão com o dispositivo de navegação ou alinhamento relativo desfavorável dos satélites.
Como funciona o GPS?
Os satélites GPS são equipados com um relógio atômico extremamente preciso e sabem suas posições o tempo todo. Eles transmitem continuamente o tempo e sua localização usando ondas de rádio. Um telefone celular ou outro dispositivo de navegação recebe esses sinais de todos os satélites dentro de sua linha de visão. A diferença entre o tempo de chegada no relógio local do receptor e o tempo de transmissão registrado pelo relógio do satélite corresponde ao tempo que o sinal leva para viajar do satélite para o receptor (o “tempo de voo”). Como as ondas de rádio viajam na velocidade da luz, o tempo de voo determina a distância coberta pelo sinal. As posições do satélite e as distâncias são usadas para calcular a posição do receptor usando um sistema de equações.
Esta descrição simplificada não leva em conta o fato de que o relógio local no receptor não é um relógio atômico. Se ele for impreciso em apenas um milionésimo de segundo, a posição calculada será imprecisa em pelo menos 300 metros. O problema do GPS é a necessidade de o telefone ou outro dispositivo de navegação determinar o tempo preciso junto com a localização — conhecido na teoria da relatividade como espaço-tempo.
Se houver poucos satélites na linha de visão, o sistema não funcionará mais de forma confiável e fornecerá várias soluções, em outras palavras, vários locais diferentes onde o receptor poderia estar. Isso pode levar à situação em que um telefone indica um local incorreto ou nenhum local. Até agora, o número de satélites necessários para obter soluções exclusivas para o problema do GPS foi apenas conjecturado.
Cinco satélites para uma localização precisa
Mireille Boutin, professora de álgebra discreta e geometria na TU/e e Gregor Kemper, professor de álgebra algorítmica na TUM, produziram agora uma prova matemática mostrando que com cinco ou mais satélites, a posição exata do receptor pode ser determinada exclusivamente em quase todos os casos. “Embora essa fosse uma conjectura de longa data, ninguém conseguiu encontrar uma prova. E estava longe de ser simples: trabalhamos no problema por mais de um ano antes de chegarmos lá”, diz Gregor Kemper. Atualmente, cada local na Terra tem contato visual com pelo menos quatro satélites o tempo todo. “A grosso modo, com apenas quatro satélites, a probabilidade de ter uma solução única para o problema do GPS parece ser de 50 por cento. Provar essa afirmação é um dos nossos próximos projetos”, diz Kemper. Com três ou menos satélites na linha de visão, a navegação GPS definitivamente não funciona.
Geometria e singularidade
Os pesquisadores chegaram à prova caracterizando o problema do GPS em termos geométricos. Eles descobriram que a posição do receptor não pode ser determinada exclusivamente se os satélites estiverem localizados em um hiperboloide de revolução de duas folhas. Esta é uma superfície curva que é aberta em todas as direções. Embora este resultado seja teórico, ele tem o benefício prático de oferecer uma melhor compreensão das imprecisões na determinação de posições.
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