Os fractais de Mandelbrot não são apenas lindos – eles ensinaram aos matemáticos como modelar o mundo real

No início do meu terceiro ano na universidade estudando matemática, vi um anúncio. Um professor visitante do Canadá ministraria um minicurso com dez palestras sobre um tema chamado dinâmica complexa.

Aconteceu que foi um momento difícil para mim. No papel, eu era um aluno muito bom, com média superior a 90%, mas na realidade estava me sentindo muito inseguro. Já era hora de escolhermos um ramo da matemática em que nos especializaríamos, mas eu ainda não tinha me conectado a nenhuma das disciplinas; todos pareciam muito técnicos e secos.

Então resolvi arriscar no minicurso. Assim que tudo começou, fui capturado pela beleza surpreendente dos padrões que emergiram da matemática. Aprendemos que esta foi uma descoberta relativamente recente; nada parecido existia antes da década de 1980.

Eles foram graças ao matemático franco-americano independente Benoit Mandelbrot, que os criou na tentativa de visualizar esse campo – com a ajuda de alguns computadores poderosos do IBM TJ Watson Research Center, no norte do estado de Nova York.

Um fractal – o termo que ele derivou da palavra latina quebradoque significa “quebrado” ou “fragmentado” – é uma forma geométrica que pode ser dividida em partes menores, cada uma delas uma cópia em escala do todo. Eles são uma representação visual do fato de que mesmo um processo com o modelo matemático mais simples pode demonstrar um comportamento complexo e intrincado em todas as escalas.

Como os fractais são criados

O sistema usado por Mandelbrot era o seguinte: você escolhe um número (z), eleva-o ao quadrado e depois adiciona outro número (c). Em seguida, repita indefinidamente, mantendo c igual enquanto usa a soma total do cálculo anterior como z a cada vez.

Começando, por exemplo, com z=0 e c=1, o primeiro cálculo seria 0² + 1 = 1. Fazendo z=1 para o próximo cálculo, é 1² + 1 = 2, e assim por diante.

Para ter uma ideia do que vem a seguir, você pode traçar o valor de c em uma linha e codificá-lo por cores, dependendo de quantas iterações na série são necessárias para que a soma total exceda 4 (a razão de ser 4 é porque qualquer coisa maior será crescer rapidamente em direção a um número infinitamente grande nas iterações subsequentes). Por exemplo, você pode usar azul se a série nunca exceder 4, vermelho se chegar lá após 1 a 5 iterações, preto se precisar de 6 a 9 iterações e assim por diante.

O conjunto de Mandelbrot é na verdade mais complicado porque você não traça c em uma linha, mas em um plano com eixos x e y. Isso envolve a introdução de vários outros conceitos matemáticos onde c é um número complexo e o eixo y se refere a valores imaginários. Se você quiser saber mais sobre isso, assista ao vídeo abaixo. Ao traçar vários valores diferentes de c no plano, você deriva os fractais.

Esta ideia de visualização de Mandelbrot, que completaria 100 anos este mês, levou os matemáticos a aceitar o papel das imagens na matemática experimental. Também levou a uma enorme quantidade de pesquisas. Em cinco das oito ocasiões desde 1994, a medalha Fields – um dos maiores prêmios em matemática – foi concedida por trabalhos relacionados às suas conjecturas.

Mandelbrot no mundo real

Durante séculos, os matemáticos tiveram de conviver com a desconfortável ideia de que as ferramentas existentes – conhecidas como geometria euclidiana – não eram realmente adequadas para modelar e compreender o mundo real. Todos produziram curvas suaves, mas a natureza não é assim.

Por exemplo, pode-se esboçar a forma da costa britânica com alguns traços contínuos. Mas quando você aumenta o zoom, você pode ver muitas pequenas irregularidades que antes eram invisíveis. O mesmo vale para os leitos dos rios, montanhas e galhos de árvores, entre muitos outros.

Quando os matemáticos tentavam modelar a superfície de qualquer coisa, essas pequenas imperfeições sempre atrapalhavam. Para que o seu trabalho se adaptasse à realidade, tiveram de introduzir elementos adicionais que sobrepunham “ruído” ao topo. Mas estes eram feios e absurdos, compensando as suas inadequações criando uma ilusão.

A filosofia revolucionária de Mandelbrot, apresentada no seu manifesto de 1982, A Geometria Fractal da Natureza, defendia que os métodos científicos poderiam ser adaptados para estudar vastas classes de fenómenos irregulares como estes. Ele foi o primeiro a perceber que, espalhados pela literatura de pesquisa, muitas vezes em fontes obscuras, estavam os germes de uma estrutura coerente que permitiria aos modelos matemáticos ir além do conforto da geometria euclidiana e resolver as irregularidades sem depender de um mecanismo sobreposto. .

Isso tornou sua teoria aplicável a uma ampla gama de campos improvavelmente diversos. Por exemplo, é usado para modelar a formação de nuvens em meteorologia e flutuações de preços no mercado de ações. Outros campos em que tem aplicação incluem física estatística, cosmologia, geofísica, computação gráfica e fisiologia.

A história da vida de Mandelbrot foi tão irregular quanto a sua descoberta. Ele nasceu em uma família judia-lituana em Varsóvia, em 1924. Pressentindo o problema que se aproximava, a família mudou-se primeiro para Paris em 1936, depois para uma pequena cidade no sul da França.

Em 1945 foi admitido na universidade de maior prestígio da França, a École Normale Supérieure de Paris, mas permaneceu apenas um dia. Ele desistiu para se mudar para a menos prestigiada École Polytechnique, que lhe convinha melhor.

Após um mestrado em aerodinâmica no Instituto de Tecnologia da Califórnia e um doutorado em matemática na Universidade de Paris, Mandelbrot passou a maior parte de sua vida científica ativa em um laboratório industrial da IBM. Somente em 1987 foi nomeado Professor Adjunto de Ciências Matemáticas de Abraham Robinson em Yale, onde permaneceu até sua morte em 2010.

Não é exagero dizer que Mandelbrot é um dos maiores mentores da nossa era. Graças ao seu trabalho, as imagens visuais de fractais tornaram-se simbólicas para a pesquisa matemática como um todo. A comunidade reconheceu sua contribuição ao nomear um dos fractais mais famosos de conjunto de Mandelbrot.

No epílogo de um documentário de 1995 sobre sua descoberta, As Cores do Infinito, vemos Benoit se dirigindo à câmera:

Passei a maior parte da minha vida desvendando as ideias que se tornaram a geometria fractal. Isso tem sido emocionante e agradável, na maioria das vezes. Mas também tem sido solitário. Durante anos, poucos compartilharam meus pontos de vista. No entanto, o fantasma da ideia dos fractais continuou a me seduzir, por isso continuei olhando através dos anos longos e secos.

Então encontre o que você ama. Não importa tanto o que seja. Encontre aquilo que você ama e mergulhe nisso. Encontrei uma nova geometria; você encontrará outra coisa. Tudo o que você encontrar será seu.