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O mapa de deslocamento de Bernoulli é um mapa caótico bem conhecido na teoria do caos. Para um sistema binário, no entanto, a saída não é caótica e converge para zero. Uma maneira de evitar isso é perturbando o espaço de estado do mapa. Em um novo estudo, os pesquisadores exploram um desses métodos de perturbação para obter saídas não convergentes com longos períodos e analisam esses períodos usando aritmética modular, obtendo uma lista completa de valores de parâmetros para perturbações ideais.
É possível que um sistema determinístico seja imprevisível? Embora contra-intuitivo, a resposta é sim. Tais sistemas são chamados de “sistemas caóticos”, que são caracterizados pela dependência sensível das condições iniciais e imprevisibilidade de longo prazo. O comportamento de tais sistemas é frequentemente descrito usando o que é conhecido como “mapa caótico”. Os mapas caóticos encontram aplicações em áreas como design de algoritmos, análise de dados e simulações numéricas.
Um exemplo bem conhecido de um mapa caótico é o mapa de deslocamento de Bernoulli. Em aplicações práticas do mapa de deslocamento de Bernoulli, as saídas geralmente precisam ter longos períodos. Curiosamente, no entanto, quando o mapa de deslocamento de Bernoulli é implementado em um sistema binário, como um computador digital, a sequência de saída não é mais caótica e converge para zero!
Para este fim, os métodos de perturbação são uma estratégia eficaz onde uma perturbação é aplicada ao estado do mapa de deslocamento de Bernoulli para evitar que sua saída convirja. No entanto, a escolha de parâmetros para a obtenção de perturbações adequadas carece de embasamento teórico.
Em um estudo recente disponibilizado online em 21 de outubro de 2022 e publicado no Volume 165, Parte 1 da revista Caos, Solitons e Fractais em dezembro de 2022, o professor Tohru Ikeguchi da Tokyo University of Science em associação com o Dr. Noriyoshi Sukegawa da University of Tsukuba, ambos no Japão, já abordou esta questão, estabelecendo as bases teóricas para um ajuste de parâmetros eficaz. “Embora as simulações numéricas possam nos dizer quais valores dos parâmetros podem impedir a convergência, não há embasamento teórico para a escolha desses valores. Neste artigo, pretendemos investigar o suporte teórico por trás dessa escolha”, explica o Prof. Ikeguchi.
Assim, os pesquisadores fizeram uso de aritmética modular para ajustar um parâmetro dominante no método de perturbação. Em particular, eles definiram o melhor valor para o parâmetro, que dependia do comprimento do bit especificado nas implementações. A equipe analisou ainda o período de saída para o qual o parâmetro teve o melhor valor. Suas descobertas mostraram que os períodos resultantes chegaram perto dos limites superiores teóricos triviais. Com base nisso, os pesquisadores obtiveram uma lista completa dos melhores valores de parâmetros para uma implementação bem-sucedida do mapa de deslocamento de Bernoulli.
Além disso, uma consequência interessante de sua investigação foi sua relação com a conjectura de Artin sobre raízes primitivas, uma questão em aberto na teoria dos números. Os pesquisadores sugeriram que, desde que a conjectura de Artin fosse verdadeira, sua abordagem seria teoricamente garantida para ser eficaz para qualquer comprimento de bit.
De modo geral, os fundamentos teóricos apresentados nesta pesquisa são de suma importância nas aplicações práticas de mapas caóticos em geral. “Uma vantagem notável de nossa abordagem é que ela fornece um suporte teórico para a escolha dos melhores parâmetros. Além disso, nossa análise também pode ser parcialmente aplicada a outros mapas caóticos, como o mapa de tendas e o mapa logístico”, destaca o Dr. Sukegawa.
Com vantagens distintas, como simplicidade e facilidade de implementação, os mapas de deslocamento de Bernoulli são altamente desejáveis em diversas aplicações práticas. E, como mostra este estudo, às vezes o caos é preferível à ordem!
Fonte da história:
Materiais fornecidos por Universidade de Ciências de Tóquio. Nota: O conteúdo pode ser editado para estilo e duração.
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