Bir yapay zeka matematik için Fields Madalyası kazanabilir mi?

Bu yazıda ChatGPT’nin matematiksel bilgisini test edeceğiz. Cebirin Temel Teoremine karşı bir örnek bulmak için yapay zekadan yararlanmaya çalışacağız, bu keşif şüphesiz bizi Fields Madalyasına doğru götürecektir.

Bu durumda tümü gerçek olan 3. dereceden bir polinomun köklerini sorarsak, ChatGPT analitik çözünürlüğün önerilen polinomlara bağlı olarak karmaşık olabileceğini öne sürer ve bu nedenle Newton-Raphson gibi yinelemeli bir sayısal yöntem kullanmamızı önerir. Yöntem.

Türevin hesaplanmasında bir hata

Şimdiye kadar, AI’nın matematiksel yeteneğinden şüphe edemeyiz, bu nedenle p(x) = x polinomunun köklerini bulma problemini çözmeye çalışıyoruz.³ – 3x² + 4 ve türev hesaplamasını yanlış yaptığı için kökleri almak doğru değil. Polinomun kökü olarak x = 0 veriyor ve kontrol etmesini istiyoruz. Doğal olarak bir yanlışlık olduğunu anlıyor ama nerede yaptığını bilmiyor. Hatanın polinomun türevinde olduğunu göstererek yardımcı oluyoruz ve ondan kökleri Newton-Raphson Metodu kullanarak yeniden hesaplamasını istiyoruz. Şaşırtıcı bir şekilde, aşağıdaki görüntüde de görebileceğimiz gibi, bu sefer basit bir işlemle yine bir hesaplama hatası yapıyor:

Hesaplamalardaki hatayı fark edip tekrar başka bir hata yapmasını istiyoruz, bu yüzden ona Newton-Raphson Metodu’nun ilk yinelemesini, yani x₁ = 5/3 veriyoruz ve yinelemelere devam etmesini istiyoruz, sonuç x₁ = 5/3 oluyor polinomun köküdür. 5/3 değerinin polinomun kökü olup olmadığını tekrar sorarak onaylıyoruz ve olumlu bir cevap alıyoruz. Polinomun o değerdeki değerini hesaplamasını istiyoruz ve sonuç sıfırdan farklı olduğu için kök olamayacağını gösteriyoruz. Aşağıda görebileceğimiz gibi anlıyor ve özür diliyor:

Newton-Raphson Yöntemi teorisinin doğru olduğu ancak uygulamasının doğru olmadığı sonucuna varıyoruz, bu nedenle polinomun çarpanlara ayrılması gibi başka bir yöntem kullanarak kökleri bulmaya çalışıyoruz.

Bu durumda bize p(x) polinomunun köklerinin x = r ve x = 1 ± 2i olduğunu verir.

p(1+2i) değerinin sıfırdan farklı olduğunu ve bu nedenle polinomumuzun bir kökü olamayacağını doğrulaması istendiğinde, hatayı tekrar kabul eder. Bu duruma geldiğimizde bir ipucu ile gidiyoruz ve ona x = – 1’in polinomun gerçek kökü olduğunu ve kalan kökleri hesapladığını söylüyoruz. x = – 1’e ek olarak p(x)=4 – 3x polinomunun diğer köklerinin de olduğunu söyleyen ilk yanıtı daha şaşırtıcı olamazdı.² +x³ x = 1 + 2i ve x = 1 – 2i’dir. Dört defaya kadar yine yanlış sonuçlar veriyor, bu yüzden ona yeni bir kök sağlamaktan başka seçeneğimiz yok. Bu durumda vermek yerine polinomumuzun kökü x = 2 mi diye soruyoruz. Yanıtı kendiniz değerlendirin veya daha doğrusu ChatGPT’nin x = 2’nin bir kök olmadığını kontrol etmek için yaptığı hesaplamaları değerlendirin:

Hesaplamalarınızı tekrar kontrol ettikten sonra polinomumuzun köklerinin x = – 1, x = 1 ve x = 2 olduğunu açıklayarak bitirin.

Üçünün de kök olup olmadığını kontrol etmesini, doğru olanı, yani x = 1’in kök olmadığını, diğer iki değerin olduğunu döndürmesini istiyoruz. Pes etmiyoruz ve polinomun üçüncü kökünü bulmaya çalışıyoruz ve tam da burada en büyük yanlış yorumlamayı buluyoruz. Şöyle açıklıyor: “Cebirin Temel Teoremi, n dereceli her polinomun hem gerçek hem de karmaşık tam olarak n kökü olduğunu ortaya koyar. Bu nedenle, n dereceli bir polinomun k gerçek kökü varsa, o zaman n karmaşık kökü olmalıdır. Buraya kadar hemfikiriz. Devam ediyoruz: “p(x) = 4 – 3x polinomu durumunda² +x^3, x = – 1 ve x = 2 olmak üzere iki gerçek kökü olduğunu bulduk. p(x) 3. dereceden bir polinom olduğundan, ek bir karmaşık köke sahip olmalıdır. Bu karmaşık kök x = 1 ± 2i’dir. Şaşkınlığımızdan kurtulamıyoruz ve bize iki kökten sadece birini göstermek istediğini anlıyoruz, bu yüzden ona bir şans daha veriyoruz ve sonuç:

Öyleyse, eğer haklıysak, Cebirin Temel Teoreminin bir karşı örneğini, 3. dereceden 4 köklü bir polinom bulduk. Fields Madalyası için mi koşuyoruz?

AI, cevabının iki defaya kadar doğru olduğunu teyit ederek, 3. derece bir polinomun 4 kökü olabileceğini gösteriyor. Hatta onları Bisection Method’u kullanarak bulmayı teklif ediyor. Şimdi evet, basit bir 3. dereceden polinomun köklerini aramaktan vazgeçiyoruz. Son bir hapla candan veda ediyoruz:

Son bir özet olarak, ChatGPT’nin kötü bir Yapay Zeka olduğunu söylemiyoruz, tam tersi olmasa bile, çok iyi bir Yapay Zeka olduğunu söylüyoruz, ancak Matematikte hala bir etkisi olmasına rağmen, Doğal Dil İşleme’de kendi başına. yol uzun. öğren. Motorların bize geri döndürdüğü sonuçları eleştirmeliyiz: ne kadar iyi açıklanırlarsa açıklansınlar doğru değiller ve bunların doğruluğunu doğrulamak için her zaman bir insana ihtiyaç var.